MATÉMATICAS III

jueves, 9 de marzo de 2017

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miércoles, 9 de noviembre de 2016

TERCER EXAMEN; ECUACIÓN DE LA RECTA.

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GEOMETRÍA ANALÍTICA

MEDIANA: Las medianas de un triángulo son, cada uno de los tres segmentos que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto. Las medianas tienen las siguientes propiedades:

Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos, de los cuales es un lado común; dichos triángulos, en general, no son congruentes, pero sí de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana AI (véase la figura) dichas regiones son los dos triángulos ΔABI y ΔACI de igual área.
Una línea isogonal a la mediana respecto a los lados que parten del vértice respectivo se llama simediana y la intersección de las tres simedianas se llama punto simediano, que es punto isogonal del punto mediano o centroide.
Las tres medianas se intersecan en un único punto, llamado el baricentro, gravicentro , o centroide, punto mediano marcado con G en la figura.
Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.
Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados $a,b,c$ , medianas $m_{a},m_{b},m_{c}$ y perímetro $p$ , se cumple la siguiente desigualdad:

RELACIÓN CON EL CENTRO DE GRAVEDAD: Cada una de las tres medianas de un triángulo pasa por el centroide del mismo, el cual es coincidente con el centro de gravedad de un objeto con forma de triángulo (si éste es de densidad uniforme). Así, dicho objeto estaría en equilibrio en cualquier transversal de gravedad (línea que pase a través del centro de gravedad ), Las medianas son solo tres transversales de gravedad, del grupo infinito de transversales de gravedad del triángulo.

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MEDIATRIZ: La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular al él. Las mediatrices de un triángulo son cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

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ALTURA DE UN TRIÁNGULO: La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto. Hay tres alturas (h_a, h_b y h_c), según a que lado está asociada dicha altura.

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BISECTRIZ: La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto. Existen tres bisectrices (B_a, B_b y B_c), según el ángulo en el que empieza.

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BARICENTRO: El baricentro es el punto de corte de las tres medianas. Las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto. El baricentro se expresa con la letra G.
INCENTRO: El Incentro (símbolo I) es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres lados, siendo tangente a dichos lados.
ORTOCENTRO: La palabra ortocentro es un término que se usa excluyentemente dentro del ámbito de la Geometría y refiere a aquel punto de intersección en el cual confluyen las tres altitudes de un triángulo. Es decir, en el ortocentro se cortan las tres alturas de un triángulo.

UNIDADES DE MEDIDA DE UN ÁNGULO

UNIDADES DE MEDIDA DE UN ÁNGULO.

Ángulo: Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común.

Está formado por:

- Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas.
- Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas.
- Amplitud: lo más importante del ángulo, es la abertura que hay entre los lados.

FORMAS DE MEDIR UN ÁNGULO:

Los ángulos se miden en grados sexagesimales: Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
Radián (rad): Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
Para medirlos se utiliza el transportador de ángulos.

POSITIVO Y NEGATIVO: El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.

EJEMPLO:

2π rad = 360°
π rad = 180°
30º rad

/3 rad º

UNIDADES DE MEDIDA:

Dibujo de la equivalencia entre ángulo radián y la longitud del arco

Radián: El radián es una unidad de medida que se utiliza principalmente en las matemáticas y en la física. El ángulo medido en radianes es igual a la longitud de arco que delimitan las dos rectas si estamos en una circunferencia de radio 1.

Una vuelta entera a una circunferencia son 2π radianes.

Dibujo de los ángulos sexagesimales de una circunferencia

GRADO SEXAGESIMAL: Los grados sexagesimal dividen una circunferencia en 360 partes iguales, de manera que una vuelta a la circunferencia son 360º. Un ángulo recto son 90º (90 grados sexagesimales). Los ángulos se dividen en 60 minutos (expresados con ‘) y cada uno de los minutos en 60 segundos (con ”). Por ejemplo, podríamos escribir un ángulo sexagesimal como 87º 31’ 44”. En el mundo científico, se suelen expresar los ángulos tanto en grados, minutos y segundos, como en radianes (aunque esta última unidad proporciona más potencia de cálculo).

EQUIVALENCIA ENTRE RADIAN Y GRADO SEXAGESIMAL:

MAPAS DE LOCALIZACIÓN

IMPORTANCIA DE LOS MAPAS:

Los mapas son representaciones a escala de un territorio. Actualmente los hay de varios tipos: políticos, físicos, etc. La evolución de los mapas ha sido muy espectacular ya que, en un principio, no había satélites como y ahora u otra serie de ayudas tecnológicas que sirvieron para poder realizar los mapas.

La mayoría de las veces las personas responsables de hacer los mapas, se ayudaban entre su vista, de su capacidad para poder representar entorno, así como de nociones matemáticas astronomía, etc., que en ese momento pudiera haber. Los mapas han sido importantes a lo largo de la historia porque representan no sólo las tierras, sino también los ríos, bosques, zonas montañosas, etc., lo que aporta una información vital a la hora de poder conocer no sólo un país, sino también zonas muy concretas del mismo.

Hoy día, todos los medios de transporte necesitan para su logística el conocimiento exacto de todos los lugares que hay en el planeta tierra para poder realizar sus movimientos a través de la tierra, el mar, etc. A día de hoy es imposible entender la realidad de donde vivimos, nuestro entorno, sin toda la información que los mapas aportan a las personas. El primer mapas nos hace ser más conscientes de todo lo que nos rodea y aporta un gran conocimiento del mismo.

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ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MAPA:

Escala (cartografía), relación entre la distancia que separa dos puntos en un mapa y la distancia real de esos dos puntos en la superficie terrestre. En los mapas, la escala puede expresarse de tres modos distintos: en forma de proporción o fracción, como por ejemplo 1:50.000 ó 1/50.000, que significa que una unidad medida en el mapa equivale a 50.000 de esas unidades medidas sobre la superficie de la Tierra; con una escala gráfica, que suele ser un segmento recto en el que se marcan las distancias, expresadas la mayoría de las veces en kilómetros u otras unidades de longitud; o con una expresión en palabras y cifras, como por ejemplo: '1 centímetro representa 100 kilómetros'. Cuanto mayor es la escala, más se aproxima al tamaño real de los elementos de la superficie terrestre. Los mapas a pequeña escala generalmente representan grandes porciones de la Tierra y, por tanto, son menos detallados que los mapas realizados con escalas más grandes.

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La leyenda suele localizarse generalmente en el margen del mapa, en cuadros insertados en él o, alguna que otra vez, en su dorso. Aunque la mayoría de las leyendas se presentan en un cuadro independiente con sus respectivos símbolos, en ocasiones reproducen una parte del mapa, real o imaginaria, en la que aparecen anotados los significados de los símbolos.
En los mapas temáticos, como los de suelos, las leyendas proporcionan una explicación de los atributos y/o clasificaciones de los datos representados. En un mapa geológico, la leyenda adopta la forma de una columna estratigráfica que muestra la relación cronológica y disposición de los diferentes estratos rocosos, así como su espesor o potencia.