GEOMETRÍA ANALÍTICA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

MEDIANA: Las medianas de un triángulo son, cada uno de los tres segmentos que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto. Las medianas tienen las siguientes propiedades:

• Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos, de los cuales es un lado común; dichos triángulos, en general, no son congruentes, pero sí de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana AI (véase la figura) dichas regiones son los dos triángulos ΔABI y ΔACI de igual área.
• Una línea isogonal a la mediana respecto a los lados que parten del vértice respectivo se llama simediana y la intersección de las tres simedianas se llama punto simediano, que es punto isogonal del punto mediano o centroide.
• Las tres medianas se intersecan en un único punto, llamado el baricentro, gravicentro , o centroide, punto mediano marcado con G en la figura.
• Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.
• Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados , medianas  y perímetro , se cumple la siguiente desigualdad:

  

   RELACIÓN CON EL CENTRO DE GRAVEDAD: Cada una de las tres medianas de un triángulo pasa por el centroide del mismo, el cual es coincidente con el centro de gravedad de un objeto con forma de triángulo (si éste es de densidad uniforme). Así, dicho objeto estaría en equilibrio en cualquier transversal de gravedad (línea que pase a través del centro de gravedad ), Las medianas son solo tres transversales de gravedad, del grupo infinito de transversales de gravedad del triángulo. 

  MEDIATRIZ: La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular al él. Las mediatrices de un triángulo son cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

 ALTURA DE UN TRIÁNGULO: La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto. Hay tres alturas (h_a, h_b y h_c), según a que lado está asociada dicha altura.

BISECTRIZ: La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto. Existen tres bisectrices (B_a, B_b y B_c), según el ángulo en el que empieza.

• BARICENTRO: El baricentro es el punto de corte de las tres medianas. Las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto. El baricentro se expresa con la letra G.
  
  
  
  
  
  
• INCENTRO: El Incentro (símbolo I) es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres lados, siendo tangente a dichos lados. 
  
  
  
• ORTOCENTRO: La palabra ortocentro es un término que se usa excluyentemente dentro del ámbito de la Geometría y refiere a aquel punto de intersección en el cual confluyen las tres altitudes de un triángulo. Es decir, en el ortocentro se cortan las tres alturas de un triángulo.